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概率问题中的期望值

发布时间:2016-09-07 浏览量:797

期望值。它是指随机变量的所有结果与对应概率的乘积加和。
例1:
某商场以摸奖的方式回馈顾客,箱内有5个乒乓球,其中1个为红色,2个为黄色,2个为白色。每位顾客从中任意摸出一个球,摸到红球奖10元,黄球奖1元,白球无奖励,则一位顾客所获奖励的期望值为( )
A.10元 B.1.2元 C.2元 D.2.4元
【解析】
摸到红球的概率为1/5,获得的奖励为10元;摸到黄球的概率为2/5,获得的奖励为1元;摸到白球的概率为2/5,获得的奖励为0元。随机摸出一个球,获得的奖励期望值为:10×1/5+1×2/5+0×2/5=2.4元。
点拨:随机取出一个球,获得的奖励结果有三种情况,每种情况的概率按照古典概率的求法求出,每种结果与对应概率相乘,求出的即为奖励期望值。
例2:
某军训部队到打靶场进行射击训练,队员甲每次射击的命中率为50%,队员乙每次射击的命中率为80%。教练规定今天的训练规则是,每个队员射击直到击中一靶一次则停止射击,则队员甲今天平均射击次数为( )。
A.2次 B.1.23次 C.2.5次 D.1.5次

【解析】队员甲今天平均射击次数就是让求解队员甲一天射击次数的期望值,甲如果射击一次,表明甲第一次就没有射中,概率为1/2; 甲如果射击两次,表明甲第一次射中,而第二次没有射中,概率为(1/2)2……甲如果射击N次,表明甲前N-1次射中,第N次没有射中,概率为(1/2)N,所以,队员甲一天射击次数的期望值为:

 A. 2次 B. 1.25次   C. 2.5次 D. 1.5次

【解析】先计算甲甲X靶的概率,我们用P(X=x)来表示,P(X=1)就是只打了一靶的概率,只打一靶也就是说第一靶就未中,概率为0.5,X=2意味着第一靶中,第二靶未中,概率为0.5*0.5,即P(X=1)=0.5,P(X=2)=0.5^2,P(X=3)=0.5^3,…… 甲平均射击次数=1*P(X=1)+2*P(X=2)+3*P(X=3)+ ……=0.5+2*0.5^2+3*0.5^3+……设y=0.5+2*0.5^2+3*0.5^3+…… 题目就是要求y,这里用到了我们高中学到的乘以一个数错位相减的知识,0.5y=0.5^2+2*0.5^3+……,用上边y的表达式减去下边0.5y的表达式,注意,要错位相减, 可得0.5y=0.5+0.5^2+0.5^3+……=1,y=2,故答案选择A选项。   


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